不用高深公式，全是违背第一直觉、但数学上严格正确的结论，通俗好懂。
三扇门，一扇后面有车，另外两扇是羊。你先选一扇门，主持人知道答案，打开另外两扇中有羊的一扇。现在给你机会：换门还是不换？
直觉：剩下两门五五开，都是 1/2。真相：换门中奖概率 2/3，不换只有 1/3。
一个房间里至少多少人，有两人生日同一天的概率超过 50%？
直觉：怎么也要 180 人以上。真相：只要23 个人，概率就超 50%；50 个人时概率高达 97%。
一个胜率 50% 的公平抛硬币游戏：你有 100 元，对手有 10000 元，一直玩到一人输光。
直觉：大家胜率一样，谁都有可能赢光对方。真相：本钱少的几乎必输光，只要一直玩下去，你破产概率无限接近 100%。
同一组数据，分开看 A 都比 B 好，合并看反而 B 比 A 好。举例子：两种药物，男性、女性单独统计都是 A 治愈率高，但男女合在一起统计，B 治愈率更高。现实里考研录取、运动胜率、医疗统计经常出现。
有一间住满了无穷多个客人的旅馆。
直觉：住满了就不能再住人。真相：无穷集合可以和自身一部分一一对应，永远能塞下新客人。
直觉：0.9 循环永远比 1 小一点点，差 0.000…1。真相：数学上严格相等，不是约等于，就是完全等于。简单证明：(1/3=0.333cdots)，两边乘 3 得 (1=0.999cdots)。
一根绳子刚好紧贴地球赤道绕一圈。现在把绳子加长1 米，让绳子整体均匀悬空、离地面高度处处相等。
直觉：加长 1 米，高度微乎其微，毫米级别。真相：离地高度约 0.159 米，差不多 16 厘米，不管绕地球、绕篮球，结果都一样。
三个盒子，分别装：
随机选一个盒子，随手摸出一颗红球，问这个盒子另一颗也是红球的概率？
直觉：要么红蓝、要么红红，概率 1/2。真相：2/3。
直觉：实数（无限小数）远多于整数。反直觉结论：
一个实心球，可以分割成有限几块，只通过旋转、平移，不拉伸不缩放，重新拼成两个和原球一模一样大的实心球。违背物理常识，但在集合论数学里是严格成立的。